מתמטריק
פתרון בגרות 2017 חורף (481)טריגונומטריה 571 · שיעור 22
בגרות 481 – חורף 2017, שאלה 5

שיעור 21 – פתרון בגרות 2017 חורף (481)

פרק 4 – פתרון בגרויות (שאלון 481)
1נוסח השאלה
2סעיף א(1) – EF
3סעיף א(2) – BE
4סעיף ב(1) – ∢EBA
5סעיף ב(2) – שטח EBG
📄 נוסח השאלה
נתון מלבן ABCD.
הנקודה F נמצאת על הצלע AB כך ש־AF = 0.6a , FB = a.
הנקודה G נמצאת על הצלע BC כך ש־AG מאונך ל־DF.
AG ו־DF נחתכים בנקודה E (ראו ציור). נתון: ∢AFE = 62.
א. (1) הביעו את אורך הקטע EF באמצעות a.
(2) הביעו את אורך הקטע BE באמצעות a.
62 A B C D F G E 0.6a a
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. נתון: a = 5 ס"מ.
(1) מצאו את הזווית ∢EBA.
(2) חשבו את שטח המשולש EBG.
62 A B C D F G E 0.6a a
סעיף א(1) – EF
המשולש AEF ישר זווית, כי AG ⊥ DF ולכן ∢AEF = 90.
במשולש AEF: AF יתר, EF ניצב ליד הזווית ∢AFE.
cos∢AFE = EFAF
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
נציב ∢AFE = 62 ו־AF = 0.6a:
cos 62 = EF0.6a
EF = 0.6a · cos 62
62 A B C D F G E 0.6a a
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף א(1) – EF · המשך
EF = 0.6a · cos 62
EF ≈ 0.282a
במחשבון: 0.6 × cos 62 = ואז כופלים ב־a.
✅ פתרון סופי: EF ≈ 0.282a
62 A B C D F G E 0.6a a
סעיף א(2) – BE
נעבור למשולש BEF. ידועות שתי צלעות: FB = a , EF ≈ 0.282a.
הזווית ביניהן היא ∢BFE. הזוויות ∢AFE ו־∢BFE צמודות (יחד 180 מעלות):
∢BFE = 180 − 62 = 118
שתי צלעות והזווית שביניהן ← הצלע השלישית במשפט הקוסינוסים:
BE2 = FB2 + EF2 − 2 · FB · EF · cos∢BFE
📐 משפט הקוסינוסים
נציב FB = a , EF = 0.282a שמצאנו בסעיף א(1), ו־∢BFE = 118:
62 A B C D F G E 0.6a a
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
סעיף א(2) – BE · המשך
נציב FB = a , EF = 0.282a שמצאנו בסעיף א(1), ו־∢BFE = 118:
BE2 = a2 + (0.282a)2 − 2 · a · 0.282a · cos 118
BE2 ≈ a2 + 0.0795a2 + 0.2648a2
BE2 ≈ 1.3443a2
BE ≈ 1.159a
✅ פתרון סופי: BE ≈ 1.159a
62 A B C D F G E 0.6a a
סעיף ב(1) – ∢EBA
נציב a = 5:
EF ≈ 0.282 · 5 ≈ 1.408
BE ≈ 1.159 · 5 ≈ 5.796
במשולש BEF ידועות שתי צלעות והזווית ∢BFE = 118. הזווית ∢EBA היא ∢EBF , והיא מול הצלע EF.
EFsin∢EBF = BEsin∢BFE
📐 משפט הסינוסים
נציב EF ≈ 1.408 , BE ≈ 5.796 ו־∢BFE = 118:
62 A B C D F G E 0.6a a
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ב(1) – ∢EBA · המשך
נציב EF ≈ 1.408 , BE ≈ 5.796 ו־∢BFE = 118:
1.408sin∢EBF = 5.796sin 118
sin∢EBF = 1.408 · sin 1185.796 ≈ 0.2145
הזווית ∢EBF חדה (במשולש יש כבר זווית קהה 118), לכן:
∢EBA ≈ 12.39
במחשבון: SHIFT sin 0.2145 =.
62 A B C D F G E 0.6a a
סעיף ב(1) – ∢EBA · המשך
במחשבון: SHIFT sin 0.2145 =.
✅ פתרון סופי: ∢EBA ≈ 12.39
62 A B C D F G E 0.6a a
סעיף ב(2) – שטח EBG
במשולש AEF סכום הזוויות הוא 180 מעלות:
∢FAE = 180 − 90 − 62 = 28
📐 סכום זוויות במשולש
המשולש ABG ישר זווית, כי ∢B = 90 (זווית של מלבן). הצלע AB:
AB = 0.6a + a = 1.6a
AB = 1.6 · 5 = 8
BG ניצב מול ∢BAG = 28 , AB ניצב ליד הזווית:
62 A B C D F G E 0.6a a
📐 סכום זוויות במשולש
180 מעלות
סעיף ב(2) – שטח EBG · המשך
BG ניצב מול ∢BAG = 28 , AB ניצב ליד הזווית:
tan∢BAG = BGAB
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
נציב ∢BAG = 28 ו־AB = 8:
tan 28 = BG8
BG = 8 · tan 28 ≈ 4.254
הזווית שבין BE ל־BG משלימה את ∢EBA לזווית ישרה של המלבן:
62 A B C D F G E 0.6a a
📐 טנגנס במשולש ישר זווית
tan = ניצב מול הזוויתניצב ליד הזווית
סעיף ב(2) – שטח EBG · המשך
הזווית שבין BE ל־BG משלימה את ∢EBA לזווית ישרה של המלבן:
∢EBG = 90 − 12.39 = 77.61
שטח המשולש EBG לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:
S = 12 · BE · BG · sin∢EBG
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
נציב BE ≈ 5.796 , BG ≈ 4.254 ו־∢EBG = 77.61:
S = 12 · 5.796 · 4.254 · sin 77.61
62 A B C D F G E 0.6a a
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢C
הזווית שבין a ו־b
סעיף ב(2) – שטח EBG · המשך
S = 12 · 5.796 · 4.254 · sin 77.61
S ≈ 12.04
✅ פתרון סופי: S ≈ 12.04 סמ"ר
62 A B C D F G E 0.6a a

📌 סיכום התשובות

סעיף א(1)
EF ≈ 0.282a
סעיף א(2)
BE ≈ 1.159a
סעיף ב(1)
∢EBA ≈ 12.39
סעיף ב(2)
S ≈ 12.04
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא